十三个数字怎么让腿走起来：Jansen 连杆的几何

一条腿，一根曲柄#

Strandbeest 的腿叫 Jansen 连杆：曲柄加上七个运动刚体，用十个转动副连起来，只有一个自由度（据上面提到的论文的描述），转一圈曲柄，脚就走出一条封闭轨迹。它的 13 个长度是（单位未说明）：

其中 $m$ 是曲柄。这些数字我对照了 Wikipedia 的 Jansen’s linkage 条目，但该条目没有写出”哪根杆接哪两个关节”。拓扑来自一篇 arXiv 论文（2606.22129，关于 Jansen 连杆的耐久性多目标优化）。我没读全文；另外我独立做了一次暴力搜索，看哪种接法能产生”平底”的脚轨迹，这一种也在候选里。

用两圆交点求每个关节#

把固定铰 $G$ 放在原点，曲柄铰在 $(a, l)$，曲柄端点 $C$ 随角度 $\theta$ 转动。其余关节都是”到两个已知点的距离已知”，于是每个都是两个圆的交点：

$F$ 是脚。两圆有两个交点，选哪个决定装配分支；我取的符号让脚始终是整条腿的最低点。代码里每个关节只是一条数据：

1
{ id: "K", centers: ["G", "C"], radii: ["b", "j"], side: 1 }

求解器按顺序走一遍就行，所以 GA 改的只是长度，拓扑不用动。

为什么是 D 形#

脚的轨迹有一段几乎是直线，落在地面上；回程抬起来，划一道弧。在我的实现里：

• 着地段占一圈的约 43%
• 抬腿高度约为轨迹宽度的三分之一（22.5 对 67.9）

着地段平，意味着脚踩着地的时候身体不会上下颠，这就是它走得稳的原因。我用一个测试把这件事钉住：脚轨迹必须有平的着地段，而且抬腿高度、连续性都在范围内。

证据等级：E2。 这三个数字后来和一份公开发表的实验台数据对过。Pop、Dolga 与 Pop 在 2014 年的 Applied Mechanics and Materials 上发表了他们自己做的小腿实验台轨迹（CCD 相机拍的足端轨迹），我把它数字化后和本仓库的解析运动学逐项比较：

着地段的逐点距离在 0.00–0.54 mm 之间，低于那篇论文自身的数字化不确定度（±0.80 mm，300 dpi 栅格和线宽造成）。所以”脚轨迹是平的、抬腿约 22.5”不只是我自己算得自洽，它与一份公开文献相符——这就是 E2 的含义。文献出处：Applied Mechanics and Materials 658: 684–689。轨迹整体形状与该文献的数字化轨迹的归一化平均距离是 0.0295（轨迹宽度的 2.95 %）。

一条腿不够，要多条错开#

一条腿有半圈在空中，身体撑不住。Strandbeest 把很多条腿装在同一根曲轴上，相位错开。在代码里，$n$ 条腿就是同一条轨迹的 $n$ 个时间平移：

1
const feet = multiLegFeet(spec, evenPhases(8), 120);

图是示意：腿画成了髋到脚的直线，着地的脚（橙色）相对地面不动，身体在上面滑过去。我检查了一件事：12 条腿（每侧 6 条）时，每个时刻都至少有脚着地；支撑稳定的时间占比超过九成（这是风速目标里的硬约束）。只有 1 条腿时就不行——它半圈时间都在空中。

小结#

• 13 个长度加一个拓扑，就是一条完整的腿；关节求解只要两圆交点。
• D 形轨迹是连杆比例的结果，不是巧合；它与 2014 年公开发表的实验台轨迹相符（E2）。
• 想自己拖着滑块玩，或者让它自己演化，代码在 strandbeest-evolution，也可以直接开在线演示（浏览器里跑，不需要装任何东西）。

下一篇：我用遗传算法从随机长度出发，看能不能重新演化出它。